Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.2.4
Упростим выражение.
Этап 1.1.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.1.1.2.4.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.1.2.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.2.8
Упростим выражение.
Этап 1.1.1.2.8.1
Добавим и .
Этап 1.1.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.3
Упростим.
Этап 1.1.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.1.3.4
Упростим числитель.
Этап 1.1.1.3.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.1.3.4.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.1.3.4.1.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.1.3.4.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.3.4.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.1.3.4.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.1.3.4.2
Вычтем из .
Этап 1.1.1.3.5
Разложим на множители, используя метод группировки.
Этап 1.1.1.3.5.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.1.1.3.5.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.2.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 1.1.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.3
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.4
Продифференцируем.
Этап 1.1.2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.4.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.4.4
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.4.4.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.4.4.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.4.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.4.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.4.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.4.8
Упростим путем добавления членов.
Этап 1.1.2.4.8.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.4.8.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.4.8.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.4.8.4
Вычтем из .
Этап 1.1.2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2.6
Упростим с помощью разложения.
Этап 1.1.2.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.6.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.6.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.7
Сократим общие множители.
Этап 1.1.2.7.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.2.7.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.2.7.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.2.8
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.2.11
Упростим выражение.
Этап 1.1.2.11.1
Добавим и .
Этап 1.1.2.11.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.12
Упростим.
Этап 1.1.2.12.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2
Упростим числитель.
Этап 1.1.2.12.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.12.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.2.12.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.3
Перенесем влево от .
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.2.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.1.2.12.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.4
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.2.12.2.1.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.2.12.2.1.5
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1
Перенесем .
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.5.1.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.12.2.1.5.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.12.2.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 1.1.2.12.2.2.1
Вычтем из .
Этап 1.1.2.12.2.2.2
Добавим и .
Этап 1.1.2.12.2.2.3
Добавим и .
Этап 1.1.2.12.2.2.4
Добавим и .
Этап 1.1.2.12.2.3
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 1.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 1.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 1.2.3
Поскольку , решения отсутствуют.
Нет решения
Нет решения
Нет решения
Этап 2
Этап 2.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3
Область определения ― это все значения , при которых выражение определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Упростим знаменатель.
Этап 4.2.1.1
Вычтем из .
Этап 4.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.2.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 4.2.2.1
Сократим общий множитель и .
Этап 4.2.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2.1.2
Сократим общие множители.
Этап 4.2.2.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.2.2.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.2.2.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.2.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим знаменатель.
Этап 5.2.1.1
Вычтем из .
Этап 5.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 5.2.2
Разделим на .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 7