Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{6}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.5.2

Вычтем $7$ из $6$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.6.2

Объединим $\frac{6}{7}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{6 {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.6.3

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.1.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.1.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 1.1.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.10.2

Умножим $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Поскольку $\frac{6}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ по $x$ равна $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}})$

Этап 1.1.2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ в виде ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Этап 1.1.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

Этап 1.1.2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}})$

Этап 1.1.2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{7}})$

Этап 1.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} u^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ и $\frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.7.3

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Этап 1.1.2.7.4

Умножим $\frac{6}{7}$ на $\frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.2.7.5

Умножим $7$ на $7$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Этап 1.1.2.8

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 1.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot 1$

Этап 1.1.2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $6 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[7]{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 2.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График вогнут вниз, так как вторая производная отрицательна.

График имеет вогнутость вниз.

Этап 4