Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Этап 1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Этап 2.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x^{2} + 2 x)$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Этап 2.1.3

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $2 x + 2$ на $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.8.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 2.3.9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Этап 2.5

Объединим $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Этап 3.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$1$