Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $12 x^{2}$ из $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1)$ .

$12 x^{2} (x + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{2} (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 1$ .

$0, - 1$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 \cdot 4$

Этап 6.2.1.4

Умножим $12$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 96 + 48$

Этап 6.2.2

Добавим $- 96$ и $48$ .

$f' (- 2) = - 48$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 48$ .

$- 48$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- 48$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Объединим $3$ и $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Этап 7.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.11

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{2^{2}})$

Этап 7.2.1.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{4})$

Этап 7.2.1.14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.14.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 (3) (\frac{1}{4})$

Этап 7.2.1.14.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4}))$

Этап 7.2.1.14.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 7.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $\frac{3}{2}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Возрастание в области $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (1) = 12 + 12 {(1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 12 + 12 \cdot 1$

Этап 8.2.1.4

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (1) = 12 + 12$

Этап 8.2.2

Добавим $12$ и $12$ .

$f' (1) = 24$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $24$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 0), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1)$

Этап 10