Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + t}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{1 + t}$ в виде ${(1 + t)}^{- 1}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 1 + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + t$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + t$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $1 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

Этап 1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ в виде ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + t$ .

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + t$ .

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $1 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Этап 2.4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Умножим $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ на $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

Этап 2.4.8.2

Добавим $2 {(1 + t)}^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

Этап 2.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$