Математический анализ Примеры

${(1 - x)}^{- 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 1.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ в виде ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 3}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$2 (- 3 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 ({(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \cdot 1$

Этап 2.3.8

Умножим $6$ на $1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4}$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(1 - x)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{6}{{(- x + 1)}^{4}}$