Математический анализ Примеры

$\frac{4 x + 4}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x + 4$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (4 x + 4) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + 0) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 4 - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot (x^{2} + 3) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 12 - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 8 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f' (x) = \frac{4 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f' (x) = \frac{4 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((- x + 1) (x + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.10

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- 1 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3.12

Изменим порядок множителей в $- \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.8.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.8.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.12.3

Объединим $- 4$ и $\frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(4) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.1

Развернем $(x^{2} + 3) (2 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x + 2) + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.2.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.4.3

Умножим $6$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.4.4

Умножим $4$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x + 4) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.6

Развернем $(- 4 x + 4) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x (x + 3) + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.7.1.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.7.1.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.7.2

Добавим $- 12 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 8 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.9.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.9.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.9.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.11.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.11.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.1.11.3

Умножим $12$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.2

Вычтем $16 x^{3}$ из $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.3

Вычтем $32 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 24 x + 24 + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.3.4

Добавим $24 x$ и $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.2

Вынесем множитель $8$ из $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.3

Вынесем множитель $8$ из $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.4

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.6

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.4.7

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.8

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.10

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.12

Перепишем $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ в виде $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.13.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.13.15

Умножим $\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$