Математический анализ Примеры

$\frac{4}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{2} + 1}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$4 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Этап 1.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.2.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{2}$ на $1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.16

Объединим $- 8$ и $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.3

Вынесем множитель $8$ из $- 24 x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 24 x^{2}$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.3.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.3.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{8 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.7

Перепишем $- (3 x^{2} - 1)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 2.18.10

Умножим $\frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$