Математический анализ Примеры

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6 y^{\frac{5}{2}}$ по $y$ равна $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.8

Объединим $6$ и $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.9

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.10

Вынесем множитель $2$ из $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.2.11.4

Разделим $15 y^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 x y$ по $y$ равна $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Этап 1.4

Поскольку $- 7 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 7 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ и $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 5 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $y$ , производная $15 y^{\frac{3}{2}}$ по $y$ равна $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.2.8

Объединим $15$ и $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 2.2.9

Умножим $3$ на $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$