Математический анализ Примеры

$12 - \frac{192}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $12 - \frac{192}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 192$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{192}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 192 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$0 - 192 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 192 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 192 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - 192 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 1.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - 192 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.2.10

Умножим $- 2$ на $- 192$ .

$0 + 384 x^{- 3}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 384 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $384$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{384}{x^{3}}$

Этап 1.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{384}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{384}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $384$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{384}{x^{3}}$ по $x$ равна $384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$384 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$384 (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.4

Умножим $- 3$ на $384$ .

$- 1152 x^{- 4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1152 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 1152$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 1152}{x^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1152}{x^{4}}$