Математический анализ Примеры

$15 x \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x \sin (x)$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$15 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Этап 1.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x))$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x \cos (x)$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.2.2

$15 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.2.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 \sin (x)$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \cos (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 (x (- \sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- 15 (x (\sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Этап 2.4.2.2

Добавим $15 \cos (x)$ и $15 \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 15 x \sin (x) + 30 \cos (x)$