Математический анализ Примеры

$x + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{32}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Этап 1.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.2.10

Умножим $- 2$ на $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{64}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.8

Умножим $- 3$ на $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $192$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $\frac{192}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$