Математический анализ Примеры

$y = x$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = x^{2} - x^{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Этап 8.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Этап 8.2.3.10

Добавим $\frac{1}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Этап 8.2.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Этап 8.2.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.2

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Этап 8.2.3.13.4

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Этап 8.2.3.15

Вычтем $3$ из $5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

Этап 8.2.3.16

Объединим $π$ и $\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Этап 8.2.3.17

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{2 π}{15}$

Десятичная форма:

$V = 0.41887902 \dots$

Этап 10