Математический анализ Примеры

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 4$ и $g (x) = 4 \sqrt{x}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $4 \sqrt{x}$ .

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

Этап 2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

Этап 2.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Этап 2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Этап 2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Этап 2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$V = 16 - (16 x)$

Этап 2.4.5

Упростим.

$V = 16 - (16 x)$

Этап 2.5

Умножим $16$ на $- 1$ .

$V = 16 - 16 x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Этап 5

Поскольку $- 16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 16$ из-под знака интеграла.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $16 x$ в $1$ и в $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $16$ на $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 16$ на $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $16$ и $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 7.2.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 7.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Этап 7.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Этап 7.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 7.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 7.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Этап 7.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

Этап 7.2.3.8

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

Этап 7.2.3.9

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$V = π (16 - 8)$

Этап 7.2.3.11

Вычтем $8$ из $16$ .

$V = π \cdot 8$

Этап 7.2.3.12

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$V = 8 π$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 8 π$

Десятичная форма:

$V = 25.13274122 \dots$

Этап 9