Математический анализ Примеры

$y = \arcsin (6 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (6 x + 1))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = 6 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Этап 3.1.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2.4

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + 0)$

Этап 3.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \cdot 6$

Этап 3.2.6.2

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$