Математический анализ Примеры

$y = \sin^{-1} (8 x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{-1} (8 x^{3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin^{-1} (x)$ и $g (x) = 8 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin^{-1} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило умножения к $8 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{6})}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.2.4

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.4

Объединим $8$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} (3 x^{2})$

Этап 3.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Объединим $3$ и $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} x^{2}$

Этап 3.2.6.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}} x^{2}$

Этап 3.2.6.3

Объединим $\frac{24}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 64 x^{6}}}$