Математический анализ Примеры

$y = x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.4

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.2.5.2.5

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Этап 3.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Этап 3.3.5

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и $x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Этап 3.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x^{2}}{1}$

Этап 3.3.6.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x^{2}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$