Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{i}}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{10^{i + 1}}}{\frac{1}{10^{i}}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{1}{10^{i + 1}} \cdot 10^{i}$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{10^{i + 1}}$ и $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i}}{10^{i + 1}}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $10^{i}$ и $10^{i + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $10^{i + 1}$ из $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1}}$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{10^{i - (i + 1)}}{1}$

Этап 2.2.3.2.4

Разделим $10^{i - (i + 1)}$ на $1$ .

$r = 10^{i - (i + 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 10^{i - i - 1 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = 10^{i - i - 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = 10^{0 - 1}$

Этап 2.2.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 10^{- 1}$

Этап 2.2.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{10}$

Этап 3

Так как $| r | < 1$ , ряд сходится.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $\frac{1}{10^{i}}$ .

$a = \frac{1}{10^{1}}$

Этап 4.2

Найдем экспоненту.

$a = \frac{1}{10}$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10 - 1}{10}}$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из $10$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{9}{10}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{10} (1 (\frac{10}{9}))$

Этап 6.4

Умножим $\frac{10}{9}$ на $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Этап 6.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$