Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} 61 \cdot {0.01}^{i}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{61 \cdot {0.01}^{i + 1}}{61 \cdot {0.01}^{i}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $61$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{61 \cdot {0.01}^{i + 1}}{61 \cdot {0.01}^{i}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{0.01}^{i + 1}}{{0.01}^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${0.01}^{i + 1}$ и ${0.01}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${0.01}^{i}$ из ${0.01}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{0.01}^{i} \cdot 0.01}{{0.01}^{i}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{0.01}^{i} \cdot 0.01}{{0.01}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{0.01}^{i} \cdot 0.01}{{0.01}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{0.01}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим $0.01$ на $1$ .

$r = 0.01$

Этап 3

Так как $| r | < 1$ , ряд сходится.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $61 \cdot {0.01}^{i}$ .

$a = 61 \cdot {0.01}^{1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем экспоненту.

$a = 61 \cdot 0.01$

Этап 4.2.2

Умножим $61$ на $0.01$ .

$a = 0.61$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{0.61}{1 - 0.01}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0.01$ из $1$ .

$\frac{0.61}{0.99}$

Этап 6.2

Разделим $0.61$ на $0.99$ .

$0.\overline{61}$