Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} - 2 i$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{10} i^{3} - 2 i = \sum_{k = 1}^{10} i^{3} - 2 \sum_{k = 1}^{10} i$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{10} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Этап 2.3.1.3

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $100$ на $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $12100$ на $4$ .

$3025$

Этап 3

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{10} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $10$ на $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 110$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $110$ .

$- 110$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$3025 - 110$

Этап 5

Вычтем $110$ из $3025$ .

$2915$