Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} 3 {(\frac{1}{4})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{i + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{i + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{4})}^{i + 1 - 1}$ и ${(\frac{1}{4})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{4})}^{i - 1}$ из ${(\frac{1}{4})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i - 1} {(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i - 1} {(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i - 1} {(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{1}{4})}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{1}{4}$

Этап 3

Так как $| r | < 1$ , ряд сходится.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $3 {(\frac{1}{4})}^{i - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$a = 3 \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 3 \frac{1}{4^{0}}$

Этап 4.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$a = 3 \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$a = 3$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{3}{1 - \frac{1}{4}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{\frac{4 - 1}{4}}$

Этап 6.1.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{3}{\frac{3}{4}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 (\frac{4}{3})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{4}{3})$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$4$