Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{9} {(i - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i - 1)}^{2}$ в виде $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Этап 1.2

Развернем $(i - 1) (i - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i$ на $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $i$ из $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 i + 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{9} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{9} i + \sum_{i = 1}^{9} 1$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{9} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Этап 3.3.2.4

Добавим $18$ и $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $30$ на $19$ .

$\frac{570}{2}$

Этап 3.3.3.2

Разделим $570$ на $2$ .

$285$

Этап 4

Найдем значение $2 \sum_{i = 1}^{9} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $9$ и $1$ .

$- 2 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $9$ на $10$ .

$- 2 (\frac{90}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{90}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{90}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 90$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $90$ .

$- 90$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{9} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (9)$

Этап 5.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$285 - 90 + 9$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $90$ из $285$ .

$195 + 9$

Этап 7.2

Добавим $195$ и $9$ .

$204$