Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ и ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ из ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $- \frac{1}{4}$ на $1$ .

$r = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ .

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

$a = - \frac{1}{4}$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{9}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{9}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $9$ и $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.6

Возведем $4$ в степень $9$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.1.9

Добавим $262144$ и $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

Этап 5.2.4

Добавим $4$ и $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $5$ из $262145$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $262144$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

Этап 5.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

Этап 5.6

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $\frac{52429}{65536}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

Этап 5.6.2

Умножим $65536$ на $4$ .

$- \frac{52429}{262144}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{52429}{262144}$

Десятичная форма:

$- 0.20000076 \dots$