Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{7} {(- 3)}^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i + 1}}{{(- 3)}^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${(- 3)}^{i + 1}$ и ${(- 3)}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${(- 3)}^{i}$ из ${(- 3)}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- 3}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$r = - 3$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в ${(- 3)}^{i}$ .

$a = {(- 3)}^{1}$

Этап 3.2

Найдем экспоненту.

$a = - 3$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{7}}{1 - - 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $7$ .

$- 3 \frac{1 - - 2187}{1 - - 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2187$ .

$- 3 \frac{1 + 2187}{1 - - 3}$

Этап 5.1.3

Добавим $1$ и $2187$ .

$- 3 \frac{2188}{1 - - 3}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 3 \frac{2188}{1 + 3}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- 3 (\frac{2188}{4})$

Этап 5.3

Разделим $2188$ на $4$ .

$- 3 \cdot 547$

Этап 5.4

Умножим $- 3$ на $547$ .

$- 1641$