Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i - 3)}^{2}$ в виде $(i - 3) (i - 3)$ .

$(i - 3) (i - 3)$

Этап 1.2

Развернем $(i - 3) (i - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i$ на $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 i$ из $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Добавим $13$ и $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Умножим $13$ на $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Этап 3.2.3.1.3

Добавим $26$ и $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Этап 3.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $182$ на $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Этап 3.2.3.2.2

Разделим $4914$ на $6$ .

$819$

Этап 3.3

Найдем значение $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Добавим $13$ и $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $13$ на $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \cdot 182$

Этап 3.3.3.3

Умножим $- 3$ на $182$ .

$- 546$

Этап 3.4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.4.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (13)$

Этап 3.4.3

Умножим $9$ на $13$ .

$117$

Этап 3.5

Сложим результаты суммирования.

$819 - 546 + 117$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $546$ из $819$ .

$273 + 117$

Этап 3.6.2

Добавим $273$ и $117$ .

$390$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2.4

Добавим $- 5$ и $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Этап 4.2.6

Умножим $- 6$ на $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Этап 4.2.7

Вычтем $12$ из $4$ .

$4 - 8 + 9$

Этап 4.2.8

Добавим $- 8$ и $9$ .

$4 + 1$

Этап 4.2.9

Добавим $4$ и $1$ .

$5$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$390 - 5$

Этап 6

Вычтем $5$ из $390$ .

$385$