Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 2}^{9} {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Этап 1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{3^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 1.6

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 2}^{9} \frac{4}{9}$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{i = 2}^{9} \frac{4}{9} = \sum_{i = 1}^{9} \frac{4}{9} - \sum_{i = 1}^{1} \frac{4}{9}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{9} \frac{4}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{4}{9}) (9)$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{9} \cdot 9$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$4$

Этап 4

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$\frac{4}{9}$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$4 - \frac{4}{9}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$4 \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9}$

Этап 6.2

Объединим $4$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4}{9}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 9 - 4}{9}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{36 - 4}{9}$

Этап 6.4.2

Вычтем $4$ из $36$ .

$\frac{32}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{9}$

Десятичная форма:

$3.\overline{5}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{5}{9}$