Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 2}^{8} i^{3}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 2}^{8} i^{3} = \sum_{k = 1}^{8} i^{3} - \sum_{k = 1}^{1} i^{3}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{8} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{8^{2} {(8 + 1)}^{2}}{4}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{8^{2} \cdot 9^{2}}{4}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{64 \cdot 9^{2}}{4}$

Этап 2.3.1.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{64 \cdot 81}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $64$ на $81$ .

$\frac{5184}{4}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $5184$ на $4$ .

$1296$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{1} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$1^{3}$

Этап 3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$1296 - 1$

Этап 5

Вычтем $1$ из $1296$ .

$1295$