Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ на $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.6

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.7

Упростим.

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.10

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

Этап 2.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Этап 2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Этап 2.1.15

Единица в любой степени равна единице.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

Этап 2.1.16

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

Этап 2.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

Этап 2.4

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

Этап 2.5

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6 - 1}{8}$

Этап 2.6

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{5}{8}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{8}$

Десятичная форма:

$0.625$