Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 0}^{2} 12 {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$12 {(- \frac{1}{2})}^{0} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$12 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ на $1$ .

$12 \frac{1^{0}}{2^{0}} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$12 \frac{1}{2^{0}} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$12 (\frac{1}{1}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$12 (\frac{1}{1}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 1 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.7

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{1} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.8

Упростим.

$12 + 12 (- \frac{1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$12 + 12 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$12 + 2 (6) \frac{- 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$12 + 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$12 + 6 \cdot - 1 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.10

Умножим $6$ на $- 1$ .

$12 - 6 + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$12 - 6 + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Этап 2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$12 - 6 + 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}})$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 - 6 + 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}})$

Этап 2.1.13

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$12 - 6 + 12 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$12 - 6 + 12 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 2.1.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 - 6 + 12 (\frac{1}{4})$

Этап 2.1.16

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$12 - 6 + 4 (3) \frac{1}{4}$

Этап 2.1.16.2

Сократим общий множитель.

$12 - 6 + 4 \cdot 3 \frac{1}{4}$

Этап 2.1.16.3

Перепишем это выражение.

$12 - 6 + 3$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из $12$ .

$6 + 3$

Этап 2.3

Добавим $6$ и $3$ .

$9$