Математический анализ Примеры

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $j$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{1}{3^{2} - 3}$ на $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{3^{2} - 3}$ на $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{4^{2} - 3}$ на $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{4^{2} - 3}$ на $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{1}{5^{2} - 3}$ на $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{1}{5^{2} - 3}$ на $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Этап 2.1.7

Изменим порядок множителей в $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Этап 2.1.8

Изменим порядок множителей в $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Этап 2.1.9

Изменим порядок множителей в $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.4

Вычтем $3$ из $25$ .

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.5

Умножим $13$ на $22$ .

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.7

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.8

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.9

Вычтем $3$ из $25$ .

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.10

Умножим $6$ на $22$ .

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.12

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.13

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.14

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.3.15

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.4

Добавим $286$ и $132$ .

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.5

Добавим $418$ и $78$ .

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6.4

Вычтем $3$ из $16$ .

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6.5

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

Этап 2.6.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

Этап 2.6.7

Вычтем $3$ из $25$ .

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

Этап 2.7

Умножим $78$ на $22$ .

$\frac{496}{1716}$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $496$ и $1716$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $496$ .

$\frac{4 (124)}{1716}$

Этап 2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1716$ .

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Этап 2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Этап 2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{124}{429}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{124}{429}$

Десятичная форма:

$0.\overline{289044}$