Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{6} 2 - i - i^{2}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{6} 2 - i - i^{2} = \sum_{k = 1}^{6} 2 - 1 \sum_{k = 1}^{6} i - 1 \sum_{k = 1}^{6} i^{2}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$(2) (6)$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12$

Этап 3

Найдем значение $1 \sum_{k = 1}^{6} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $6$ и $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $6$ на $7$ .

$- 1 (\frac{42}{2})$

Этап 3.3.3

Разделим $42$ на $2$ .

$- 1 \cdot 21$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $21$ .

$- 21$

Этап 4

Найдем значение $1 \sum_{k = 1}^{6} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $12$ и $1$ .

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $42$ на $13$ .

$- 1 (\frac{546}{6})$

Этап 4.3.2.2

Разделим $546$ на $6$ .

$- 1 \cdot 91$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $91$ .

$- 91$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$12 - 21 - 91$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $21$ из $12$ .

$- 9 - 91$

Этап 6.2

Вычтем $91$ из $- 9$ .

$- 100$