Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{4} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

${(\frac{1}{3})}^{1 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{0}}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.7

Упростим.

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.8

Вычтем $1$ из $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Этап 2.1.12

Вычтем $1$ из $4$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Этап 2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{3}}$

Этап 2.1.15

Возведем $3$ в степень $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Этап 2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 + 9 + 3 + 1}{27}$

Этап 2.4

Добавим $27$ и $9$ .

$\frac{36 + 3 + 1}{27}$

Этап 2.5

Добавим $36$ и $3$ .

$\frac{39 + 1}{27}$

Этап 2.6

Добавим $39$ и $1$ .

$\frac{40}{27}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{40}{27}$

Десятичная форма:

$1.\overline{481}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{13}{27}$