Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 + \cos (2 x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + \cos (2 x)}$ в виде ${(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 + \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 + \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.6.2.2

Перенесем ${(2 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + \cos (2 x)]$

Этап 4.6.3

По правилу суммы производная $2 + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 4.6.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 4.6.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 4.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.7.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $\frac{1}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.8.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.8.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.8.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 ({(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (2 x)}{{(2 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$