Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)={\log }_9\left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x^2}{10{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{x^2}{10{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}$ и ${\displaystyle \ln \left(9\right)}$.

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на ${\displaystyle \frac{x^2\ln \left(9\right)}{10{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+1)}^{\frac{1}{2}}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(x+1)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило степени.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x+1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x+1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим выражение.

Объединим ${\displaystyle 2{(x+1)}^{\frac{1}{2}}x}$ и ${\displaystyle -\frac{x^2}{2{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}$, используя общий знаменатель.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 2}$.

Умножим ${\displaystyle {(x+1)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle {(x+1)}^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle 4x{(x+1)}^1}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{4x(x+1)-x^2}{2{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}{x+1}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{4x(x+1)-x^2}{2{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}$.

Возведем ${\displaystyle x+1}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Упростим выражение.

Умножим ${\displaystyle \frac{{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}{x^2\ln \left(9\right)}}$ на ${\displaystyle \frac{4x(x+1)-x^2}{2{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}}$.

Перенесем ${\displaystyle {(x+1)}^{\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^n=\frac{1}{b^{-n}}}$.

Упростим знаменатель.

Упростим.