Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\ln (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок множителей в $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.2

Чтобы записать $\ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.3

Объединим $e^{x}$ и $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.5

Объединим.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.6

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Этап 3.5.7

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$