Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{3 x} + e^{- 3 x}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{3 x} + e^{- 3 x}] - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{3 x} + e^{- 3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$\frac{x (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \cdot - 3) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $e^{- 3 x}$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 \cdot e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.6.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 3.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x e^{3 x} + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 3.7.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 3.7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 3.7.5

Изменим порядок множителей в $\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$