Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} + 2) (\ln (x^{2} + 1))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 2) (\ln (x^{2} + 1)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 2$ и $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{1}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.4.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$(x^{2} + 2) \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.4.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2 x)$

Этап 3.3.8.2

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 2) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 x \ln (x^{2} + 1)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = (x^{2} + 2) (\frac{2 x}{x^{2} + 1}) + 2 x \ln (x^{2} + 1)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 2) (\frac{2 x}{x^{2} + 1}) + 2 x \ln (x^{2} + 1)$