Математический анализ Примеры

$y = \frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x \sin (x)$ и $g (x) = 5 + \cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.4.3

По правилу суммы производная $5 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.4.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1

Развернем $(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.2

Умножим $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.2

Перенесем $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.6

Переставляем члены.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.1.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.11.2

Изменим порядок членов.

$\frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$