Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{1}{x \sqrt{x + 8}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 8}$ в виде ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 (x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x + 8$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.6.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x + 8$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.11.3

Перенесем ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 8] + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.12

По правилу суммы производная $x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [8]) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.14

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.15.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1))$

Этап 4.17

Умножим ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4.18

Чтобы записать ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))$

Этап 4.19

Объединим ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}))$

Этап 4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.21

Умножим ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Перенесем ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.21.5

Разделим $2$ на $2$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + {(x + 8)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.22

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.22.1

Упростим ${(x + 8)}^{1} \cdot 2$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + (x + 8) \cdot 2}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.22.2

Перенесем $2$ влево от $x + 8$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x + 2 \cdot (x + 8)}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.23

Объединим $\frac{x + 2 (x + 8)}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{(x + 2 (x + 8)) {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.24

Перенесем ${(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{x + 2 (x + 8)}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 4.25

Объединим $x$ и $\frac{x + 2 (x + 8)}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

${(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{x (x + 2 (x + 8))}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 4.26

Объединим ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x (x + 2 (x + 8))}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x (x + 2 (x + 8)))}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.27

Сократим общий множитель.

$- \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}} x (x + 2 (x + 8))}{2 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.28

Перепишем это выражение.

$- \frac{x (x + 2 (x + 8))}{2 {(x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.1

Применим правило умножения к $x {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x (x + 2 (x + 8))}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x (x + 2 x + 2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x \cdot x + x (2 x) + x (2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{x^{2} + x (2 x) + x (2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{x^{2} + 2 x \cdot x + x (2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{x^{2} + 2 (x \cdot x) + x (2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{x^{2} + 2 x^{2} + x (2 \cdot 8)}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.1.4

Умножим $2$ на $8$ .

$- \frac{x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 16}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.1.5

Перенесем $16$ влево от $x$ .

$- \frac{x^{2} + 2 x^{2} + 16 x}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.4.2

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- \frac{3 x^{2} + 16 x}{2 (x^{2} {({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.29.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 x^{2} + 16 x}{2 (x^{2} {(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 4.29.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 x^{2} + 16 x}{2 (x^{2} {(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 4.29.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 x^{2} + 16 x}{2 (x^{2} {(x + 8)}^{1})}$

Этап 4.29.5.2

Упростим.

$- \frac{3 x^{2} + 16 x}{2 x^{2} (x + 8)}$

Этап 4.29.6

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.6.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$- \frac{x (3 x) + 16 x}{2 x^{2} (x + 8)}$

Этап 4.29.6.2

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$- \frac{x (3 x) + x \cdot 16}{2 x^{2} (x + 8)}$

Этап 4.29.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 16$ .

$- \frac{x (3 x + 16)}{2 x^{2} (x + 8)}$

Этап 4.29.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.29.7.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} (x + 8)$ .

$- \frac{x (3 x + 16)}{x (2 x (x + 8))}$

Этап 4.29.7.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x (3 x + 16)}{x (2 x (x + 8))}$

Этап 4.29.7.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 x + 16}{2 x (x + 8)}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{3 x + 16}{2 x (x + 8)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x + 16}{2 x (x + 8)}$