Математический анализ Примеры

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2} \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x \cos (x)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.3.2

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \sin (x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $2$ на $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3.3

Вычтем $12 x \sin (x)$ из $12 \sin (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3.3.2

Вычтем $12 x \sin (x)$ из $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3.4

Добавим $6 x^{2} \cos (x)$ и $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Этап 3.5.3.5

Вычтем $12 \cos (x)$ из $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

Этап 3.5.3.6

Добавим $6 x^{2} \cos (x)$ и $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$