Математический анализ Примеры

$y = {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{9}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{9})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = 5 x^{2} - \frac{9}{x} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} - \frac{9}{x} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - \frac{9}{x} - x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - \frac{9}{x} - x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} - \frac{9}{x} - x$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - \frac{9}{x} - x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - \frac{9}{x} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9}{x}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.6

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x - 9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + 9 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + 9 x^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + 9 x^{- 2} - 1)$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + 9 \frac{1}{x^{2}} - 1)$

Этап 3.4

Объединим $9$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + \frac{9}{x^{2}} - 1)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + \frac{9}{x^{2}} - 1)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(5 x^{2} - \frac{9}{x} - x)}^{8} (10 x + \frac{9}{x^{2}} - 1)$