Математический анализ Примеры

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.2

Перенесем $3$ влево от $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 + 3 \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 3.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.7.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.3.7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.5.4

Перенесем $4$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Этап 3.7

Объединим $\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$