Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.9.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Этап 4.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Этап 4.12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Этап 4.14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Этап 4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 4.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Этап 4.17

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- (2 x)$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.2

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.3.1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.1.6

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.3.2

Вычтем $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.4.1

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.2

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.4.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.4.4.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.4.4.3

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 4.18.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 4.18.6

Умножим $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.6.1

Умножим $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.18.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.18.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.6.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.18.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.18.6.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$