Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} - x$ и $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x] - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1 \cdot 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.11.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2} - x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Развернем $(x^{3} + 1) (4 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.4

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.5

Умножим $4 x$ на $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 (x^{2} x^{2})) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2 + 2}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{4}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $6 x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{- 2 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Добавим $- x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Этап 3.3.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Этап 3.3.4.4

Применим правило умножения к $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{4}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.10

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.12

Перепишем $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$