Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\sin (x)}{9 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 x}{\sin (x)}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$

Этап 3.3.2

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.6

Объединим $9$ и $\frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 (\sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) + 9 (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) - 9 (x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.2

Чтобы записать $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.3

Чтобы записать $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Этап 3.4.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 x^{2} \sin^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Умножим $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Этап 3.4.2.4.2

Умножим $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{\sin^{2} (x) (9 x^{2})}$

Этап 3.4.2.4.3

Изменим порядок множителей в $\sin^{2} (x) (9 x^{2})$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.6

Перенесем $9$ влево от $9 \sin (x) - 9 x \cos (x)$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + 9 (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) x^{2}}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$