Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{x^{3}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 3.4.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (- \sin (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Этап 3.4.2.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Этап 3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Этап 3.6.5

Перепишем $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ в виде $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Этап 3.6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$