Математический анализ Примеры

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x \ln (y) + y \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.6

Объединим $x$ и $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $\ln (y)$ на $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

Этап 2.3.4

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Каждый член в $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим каждый член $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ на $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.8

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

Этап 5.1.2.1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $0 (y x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Умножим $y$ на $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

Этап 5.1.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Этап 5.4

Добавим $- y' x^{2} - y^{2}$ и $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

Этап 5.5

Добавим $y' x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

Этап 5.6

Вычтем $y x \ln (y)$ из обеих частей уравнения.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Этап 5.7

Вынесем множитель $y' x$ из $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $y' x$ из $y' y x \ln (x)$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x^{2}$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

Этап 5.7.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ .

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

Этап 5.8

Разделим каждый член $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ на $x (y \ln (x) + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ на $x (y \ln (x) + x)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.2.2

Сократим общий множитель $y \ln (x) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Этап 5.8.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Этап 5.8.3.2

Чтобы записать $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.8.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (y \ln (x) + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.3.1

Умножим $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

Этап 5.8.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(y \ln (x) + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} - y \ln (y) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.5.2

Перепишем $- 1 \ln (y)$ в виде $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (\ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.6.4.1

Перепишем $- (y + \ln (y) x)$ в виде $- 1 (y + \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 5.8.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$