Математический анализ Примеры

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Этап 2.6.4.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Этап 2.6.4.7

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Этап 2.6.5

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Этап 3.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Этап 3.7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Этап 3.7.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Этап 3.7.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Этап 3.7.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Этап 3.7.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Этап 3.7.5.6

Добавим $y^{2} y'$ и $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Этап 5.2

Добавим $x^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.3

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ на $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ на $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1.1

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.2

Изменим порядок $- y^{2}$ и $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x y$ .

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.4

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.6

Умножим $x y$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.1.7

Перенесем круглые скобки.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 5.5.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$