Математический анализ Примеры

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ и $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 18 x + 18$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.4.2

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9 x^{2}$ по $y$ равна $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.8

Поскольку $- 18$ является константой относительно $y$ , производная $- 18 x$ по $y$ равна $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

Этап 3.10

Поскольку $18$ является константой относительно $y$ , производная $18$ относительно $y$ равна $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

Этап 3.11

Добавим $18 x x' - 18 x'$ и $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Этап 3.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Этап 3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

Этап 3.12.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Добавим $- 18 x e^{x} x'$ и $e^{x} (18 x x')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1.1

Перенесем $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Этап 3.12.4.1.2

Добавим $- 18 x e^{x} x'$ и $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

Этап 3.12.4.2

Добавим $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ и $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Этап 3.12.4.3

Добавим $18 e^{x} x'$ и $e^{x} (- 18 x')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.3.1

Изменим порядок $e^{x}$ и $- 18$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

Этап 3.12.4.3.2

Вычтем $18 \cdot e^{x} x'$ из $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

Этап 3.12.4.4

Добавим $9 x^{2} e^{x} x'$ и $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Этап 3.12.5

Изменим порядок множителей в $9 x^{2} e^{x} x'$ .

$9 e^{x} x^{2} x'$

Этап 3.12.6

Изменим порядок множителей в $9 e^{x} x^{2} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ .

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ на $9 x^{2} e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ на $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$