Математический анализ Примеры

$\frac{(x + y)}{(x - y)} = x^{2} + y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + y$ и $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Развернем $(x - y) (1 + y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.3

Развернем $(- x - y) (1 - y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.2

Умножим $- x (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.4

Умножим $- y (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.1.4.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2

Объединим противоположные члены в $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.2

Добавим $x y' - y - y y'$ и $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.3

Добавим $- y y'$ и $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.2.4

Добавим $x y' - y + x y' - y$ и $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.3

Добавим $x y'$ и $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.2.4

Вычтем $y$ из $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x y' - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 2.8.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3.2

Перенесем $x$ .

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.1.1

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Этап 5.3.1.7

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

Этап 5.3.1.8

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

Этап 5.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Этап 5.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Этап 5.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Этап 5.3.1.9.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Этап 5.3.1.9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Этап 5.3.1.9.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.1.4.1

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Этап 5.3.1.9.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Этап 5.3.1.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Этап 5.3.1.9.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Этап 5.3.1.9.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.2.1

Перенесем $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Этап 5.3.1.9.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Этап 5.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.11.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.11.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.11.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.11.2.1

Перенесем $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.11.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.1.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Этап 5.3.2

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

Этап 5.3.3

Вычтем $2 y' x$ из обеих частей уравнения.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.4

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $2 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $4 x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

Этап 5.3.4.3

Вычтем $2 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y x^{2}$ .

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y' y^{2} x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y' x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.6

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.5.7

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Этап 5.3.7

Разделим каждый член $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ на $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Разделим каждый член $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ на $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ .

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.2.2

Сократим общий множитель $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Этап 5.3.7.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.7.3.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (x^{3})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.2.11.1

Перепишем $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ в виде $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 5.3.7.3.2.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$